Programmierung von CAx-Systemen

David Straub

Gliederung

1. Einführung
2. Topologie
3. Geometrie
4. Modellierungsstrategien
5. Datenaustausch
6. Simulation
7. Optimierung
8. Fertigung

Topologie

• Geometrie vs. Topologie
• Einstieg: Ein konkreter Körper
• Topologische Grundelemente
• Hierarchie und Konnektivität
• Orientierung
• B-Rep als Industriestandard
• Topologie in build123d

Geometrie vs. Topologie

Was ist der Unterschied?

Topologie beschreibt die Struktur eines Körpers:

• Wie viele Flächen, Kanten, Ecken hat er?
• Wie sind diese miteinander verbunden?
• Welche Elemente begrenzen welche anderen?

Geometrie beschreibt die Form im Raum:

• Wo liegen die Punkte (Koordinaten)?
• Welche mathematische Kurve/Fläche liegt zugrunde?
• Krümmung, Länge, Flächeninhalt

B-Rep = Topologie + Geometrie: Die Topologie liefert das Gerüst, die Geometrie füllt es mit konkreter Form.

Beispiel: Würfel vs. Quader

Beide haben dieselbe Topologie:

• 8 Ecken, 12 Kanten, 6 Flächen
• Jede Fläche von 4 Kanten begrenzt
• Jede Kante von 2 Ecken begrenzt

Aber unterschiedliche Geometrie:

• Würfel: alle Flächen quadratisch, alle Kanten gleich lang
• Quader: Rechteckflächen, unterschiedliche Kantenlängen

→ Gleiche Topologie, verschiedene Geometrie ist möglich!

Analogie: S-Bahn-Netz

Netzplan (Topologie): Welche Stationen sind verbunden? Wo muss ich umsteigen?

Geografische Karte (Geometrie): Wo liegen die Stationen genau? Wie lang ist die Strecke in km?

Beide Darstellungen beschreiben dasselbe Netz – aber unterschiedliche Aspekte davon.

→ In CAD: B-Rep trennt genauso Struktur (Topologie) von Form (Geometrie).

Einstieg: Ein konkreter Körper

Unser erstes Objekt: der Zylinder

import build123d as bd

zylinder = bd.Cylinder(radius=10, height=20)
zylinder

Ein einfacher Zylinder – aber wie ist er intern aufgebaut?

Topologie inspizieren

zylinder.show_topology()

Ausgabe (vereinfacht):

Solid
└── Shell
    ├── Face  (zylindrische Mantelfläche)
    ├── Face  (untere Kreisfläche)
    └── Face  (obere Kreisfläche)
        ├── Wire
        │   └── Edge  (Kreisbogen)
        ...

→ Drei Flächen, jede durch Kanten begrenzt, Kanten durch Ecken.

Elemente zählen

print("Solids:  ", len(zylinder.solids()))
print("Shells:  ", len(zylinder.shells()))
print("Faces:   ", len(zylinder.faces()))
print("Wires:   ", len(zylinder.wires()))
print("Edges:   ", len(zylinder.edges()))
print("Vertices:", len(zylinder.vertices()))

Ergebnis:

Solids:   1
Shells:   1
Faces:    3
Wires:    3
Edges:    3
Vertices: 2

→ Warum nur 2 Ecken? Warum nur 3 Kanten?

Anatomie des Zylinders

Solid
└── Shell
    ├── Face: Mantel (Zylinderfläche)  — 1 Kante (Seam-Kante)
    ├── Face: Boden (Kreisfläche)      — 1 Kante (Kreis)
    └── Face: Deckel (Kreisfläche)     — 1 Kante (Kreis)

• Die Kreiskanten (Boden, Deckel) teilen sich je einen Vertex mit der Mantelkante
• Die Mantel-Kante ist eine Nahtkante (seam edge)
• Kanten werden zwischen Flächen geteilt – nicht dupliziert!

Topologische Grundelemente

Vertex – der Punkt

• Nulldimensionales Element
• Repräsentiert einen Punkt im Raum
• Geometrie: ein 3D-Punkt
• Begrenzungselement von Kanten

v = zylinder.vertices()[0]
print(type(v))       # <class 'build123d.topology.Vertex'>
print(v.center())    # Position im Raum

Edge – die Kante

• Eindimensionales Element
• Ein Kurvenstück, begrenzt durch Vertices
• Geometrie: eine parametrische Kurve (Linie, Kreis, Spline, …)

kanten = zylinder.edges()
for k in kanten:
    print(k.geom_type)  # CIRCLE oder LINE oder ...
    print(k.length)

Wire – der Kantenzug

• Geordnete, zusammenhängende Folge von Edges
• Bildet eine geschlossene Schleife (Kontur einer Fläche)
• Kein eigenes geometrisches Objekt – nur eine Anordnung

wire = zylinder.faces()[0].wires()[0]
print(len(wire.edges()), "Kanten im Wire")

→ Flächen können mehrere Wires haben: äußere Kontur + innere Löcher

Face – die Fläche

• Zweidimensionales Element
• Ein Flächenstück, begrenzt durch Wires
• Geometrie: eine parametrische Fläche (Ebene, Zylinder, Kugel, Spline, …)

flaechen = zylinder.faces()
for f in flaechen:
    print(f.geom_type)  # PLANE oder CYLINDER oder ...
    print(f.area)

Shell – die Hülle

• Zusammenhängende Menge von Faces (verbunden über gemeinsame Edges)
• Bildet eine geschlossene oder offene Hülle

shell = zylinder.shells()[0]
print(len(shell.faces()), "Flächen in der Shell")

→ Eine geschlossene Shell begrenzt ein Volumen

Solid – der Körper

• Dreidimensionales Element
• Ein Volumenkörper, begrenzt durch eine (oder mehrere) Shells
• Das Zielobjekt in der parametrischen Konstruktion

solid = zylinder.solids()[0]
print(solid.volume)  # Volumen in mm³
print(solid.area)    # Oberfläche in mm²

Compound – die Sammlung

• Container für beliebige Objekte (Shapes, auch gemischter Typen)
• Kein geometrisches Konzept, nur Verwaltung
• Part, Sketch, Curve in build123d sind spezialisierte Compounds

quader = bd.Box(30, 20, 10)
gruppe = bd.Compound([zylinder, quader])
print(len(gruppe.solids()), "Solide in der Gruppe")

Übersicht: Topologie-Hierarchie

Hierarchie und Konnektivität

Der Topologie-Graph

Die Elemente bilden eine hierarchische Struktur (gerichteter Graph):

Solid
 └── Shell
      ├── Face
      │    └── Wire
      │         └── Edge
      │              └── Vertex
      └── Face
           └── Wire
                └── Edge
                     └── Vertex  ← derselbe Vertex wie oben!

Entscheidend: Teilelemente werden geteilt, nicht kopiert.

Konnektivität durch gemeinsame Teilelemente

Zwei Objekte sind verbunden, wenn sie ein gemeinsames Begrenzungselement teilen:

• Zwei Flächen sind verbunden, wenn sie eine gemeinsame Kante haben
• Zwei Kanten sind verbunden, wenn sie einen gemeinsamen Vertex haben

quader = bd.Box(20, 20, 10)

# Welche Flächen teilen eine bestimmte Kante?
kante = quader.edges()[0]
for f in quader.faces():
    if kante in f.edges():
        print("Fläche enthält diese Kante:", f.center())

Teilelemente abfragen

quader = bd.Box(20, 20, 10)

# Alle Kanten einer bestimmten Fläche
oberseite = quader.faces().sort_by(bd.Axis.Z).last
print("Kanten der Oberseite:", len(oberseite.edges()))

# Alle Vertices einer bestimmten Kante
kante = oberseite.edges()[0]
print("Vertices der Kante:", len(kante.vertices()))

→ Die Topologie erlaubt Navigation von oben nach unten durch die Hierarchie

Topologie vs. Anzahl bei komplexeren Körpern

# Quader nach boolescher Operation
quader = bd.Box(40, 40, 20)
loch = bd.Cylinder(radius=8, height=20)
ergebnis = quader - loch

print("Faces:   ", len(ergebnis.faces()))    # 7
print("Edges:   ", len(ergebnis.edges()))    # 15
print("Vertices:", len(ergebnis.vertices())) # 10

Boolesche Operationen verändern die Topologie – neue Elemente entstehen, alte entfallen.

Orientierung

Orientierung: Motivation

Gedankenexperiment: Sechs quadratische Flächen, topologisch zu einer Shell verbunden.

Was entsteht?

• Ein Würfel (massiv, Material innen)?
• Eine würfelförmige Aussparung (Hohlraum, Material außen)?

Die Topologie ist identisch – 6 Faces, 12 Edges, 8 Vertices, alles verbunden.

→ Wir brauchen eine zusätzliche Information: in welche Richtung zeigt jede Fläche?

Orientierung: Normale zeigt nach außen

Die Lösung: Jede Face trägt eine Richtungsinformation – den Normalenvektor.

Regel: In einem gültigen Solid zeigt die Normale immer vom Material weg (nach außen).

• Würfel: Normalen zeigen nach außen → Material liegt innen ✓
• Hohlraum: Normalen zeigen nach innen → das ist ein anderes Objekt (z.B. nach Boolean-Differenz)

Orientierung: Material liegt links

Dieselbe Logik eine Ebene tiefer: Welche Seite einer Fläche ist „innen"?

Regel: Wenn man von außen auf eine Face schaut (entgegen der Normalen), liegt das Material links von der Durchlaufrichtung jeder Kante.

• Outer Wire: Material liegt links → Fläche ist begrenzt
• Inner Wire: läuft entgegengesetzt → Material liegt rechts → Loch

Warum ist Orientierung wichtig?

• Boolesche Operationen brauchen korrekte Orientierung (Vereinigung, Differenz, Schnitt)
• Wasserdichtheit: Normalen müssen konsistent nach außen zeigen
• Export: Falsche Orientierung → ungültige STL- oder STEP-Dateien

# build123d prüft automatisch die Orientierung
ergebnis = quader - loch
print(ergebnis.is_valid)  # True wenn korrekt

→ build123d und OCCT kümmern sich meist automatisch darum – aber das Konzept erklärt, warum manche Operationen fehlschlagen.

B-Rep als Industriestandard

B-Rep – ein Standard

Die Topologie-Konzepte dieser Vorlesung sind nicht an eine Software gebunden:

→ Vertex, Edge, Wire, Face, Shell, Solid – überall dieselben Konzepte, nur unterschiedliche Syntax.

STEP: der gemeinsame Nenner

ISO 10303 (STEP) ist das universelle Austauschformat für B-Rep-Geometrie.

• Exportiert von CATIA, SolidWorks, NX, FreeCAD, CadQuery, build123d …
• Speichert exakt dieselbe topologische Struktur: Vertices, Edges, Faces, Shells, Solids
• Kein Informationsverlust bei der Topologie

import build123d as bd

# Eine STEP-Datei aus CATIA laden:
fremdes_teil = bd.import_step("catia_teil.step")

# Und sofort mit denselben Methoden arbeiten:
print(len(fremdes_teil.faces()))   # Flächen zählen
print(len(fremdes_teil.edges()))   # Kanten zählen
fremdes_teil.show_topology()       # Struktur anzeigen

Kernel-Unterschiede: was variiert?

Das Gleiche (normiert durch B-Rep / ISO 10303):

• Hierarchie: Vertex → Edge → Wire → Face → Shell → Solid
• Orientierungskonzept (FORWARD / REVERSED)
• Boolesche Operationen (Union, Cut, Common)

Das Unterschiedliche (kernel-spezifisch):

• Welche Kurven-/Flächentypen unterstützt werden
• Toleranzen und Präzisionsstrategie
• Interne Datenstrukturen und Algorithmen
• API-Syntax

→ Wer B-Rep versteht, kann sich in jedem professionellen CAD-System orientieren.

Topologie in build123d

Teilelemente selektieren

Jedes Objekt stellt Selektoren bereit, die ShapeList zurückgeben:

part = bd.Box(40, 30, 20) - bd.Cylinder(radius=8, height=20)

part.vertices()   # alle Vertices
part.edges()      # alle Kanten
part.wires()      # alle Wires
part.faces()      # alle Flächen
part.solids()     # alle Körper

ShapeList ist eine Liste mit Zusatzmethoden zum Filtern und Sortieren.

Selektoren: Sortieren

part = bd.Box(40, 30, 20)

# Nach Position entlang einer Achse
oberseite  = part.faces().sort_by(bd.Axis.Z).last   # höchste Fläche
unterseite = part.faces().sort_by(bd.Axis.Z).first  # tiefste Fläche

# Nach Geometrieeigenschaft
groesste = part.faces().sort_by(bd.SortBy.AREA).last
laengste = part.edges().sort_by(bd.SortBy.LENGTH).last

# Gruppieren
gruppen = part.faces().group_by(bd.SortBy.AREA)  # Liste von Listen

Selektoren: Filtern

from build123d import GeomType

part = bd.Box(30, 20, 10) - bd.Cylinder(radius=5, height=10)

# Nach Achsausrichtung (Kanten parallel, Flächen normal)
part.edges().filter_by(bd.Axis.Z)       # vertikale Kanten
part.faces().filter_by(bd.Axis.Z)       # Ober-/Unterseite

# Nach Geometrietyp
part.edges().filter_by(GeomType.CIRCLE)    # Kreiskanten
part.faces().filter_by(GeomType.PLANE)     # ebene Flächen
part.faces().filter_by(GeomType.CYLINDER)  # zylindrische Flächen

# Nach Position (Mittelpunkt der Kante/Fläche)
part.edges().filter_by_position(bd.Axis.Z, 4, 6)

Topologische Stabilität nach Operationen

Problem: Nach jeder Operation kann sich die interne Nummerierung der Objekte ändern!

part_v1 = bd.Box(40, 30, 20)
# part_v1.faces()[0]  ← Index 0 ist eine bestimmte Fläche

part_v2 = bd.fillet(part_v1.edges(), radius=2)
# part_v2.faces()[0]  ← Index 0 kann jetzt eine ANDERE Fläche sein!

→ Deshalb: immer semantisch selektieren (sort_by, filter_by), nie hart auf Index verlassen.

Zusammenfassung

Topologie vs. Geometrie

Topologische Hierarchie

Solid  →  Shell  →  Face  →  Wire  →  Edge  →  Vertex
  3D         2D        2D      1D      1D        0D

• Elemente werden geteilt (nicht kopiert)
• Zwei Objekte sind verbunden durch gemeinsame Teilelemente
• Orientierung bestimmt, was „innen" und „außen" ist (Loch vs. Material, Hohlraum vs. Solid)

Selektoren in build123d

part.faces().sort_by(Axis.Z).last          # höchste Fläche
part.edges().filter_by(GeomType.CIRCLE)    # Kreiskanten
part.faces().group_by(SortBy.AREA)[-1]     # größte Flächen
part.edges().filter_by_position(Axis.Z, 4, 6)  # Kanten in Bereich

→ Robuste Selektion durch semantische Kriterien statt Indizes

B-Rep – ein universelles Konzept

• Vertex, Edge, Face, Shell, Solid: dieselben Konzepte in CATIA, SolidWorks, NX, FreeCAD, build123d
• STEP (ISO 10303) transportiert diese Struktur zwischen Systemen
• Wer B-Rep-Topologie versteht, kann sich in jedem professionellen CAD-System orientieren
• build123d ist unser Werkzeug – nicht das Ziel

Ausblick: Geometrie

In der nächsten Einheit: Wie wird Form mathematisch beschrieben?

• Kurven: Linien, Kreise, B-Splines
• Flächen: Ebenen, Zylinder, NURBS-Flächen
• Parameter und Koordinatensysteme
• Wie OCCT Geometrie und Topologie verbindet (B-Rep)